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已知非齐次线性方程组x1%x2+x3%x4=3,x1+x2+2x3%3x4=1,x1+3x2+3x3...

写出此方程组的增广矩阵,用初等行变换来解1 -1 1 -1 31 1 2 -3 11 3 3 -5 -1 第3行减去第2行,第2行减去第1行~1 -1 1 -1 30 2 1 -2 -20 2 1 -2 -2 第3行减去第2行,第2行除以2~1 -1 1 -1 30 1 1/2 -1 -10 0 0 0 0 第1行加上第2行~1 0 3/2 -2 20 1 1/2 -1

25\3

证明: 方程组的系数矩阵 A=1 1 1 14 3 5 -1a 1 3 b因为非齐次线性方程组有3个线性无关的解而非齐次线性方程组的解的差是其导出组的解所以导出组的基础解系至少含2个解向量所以 4-R(A)>=2即 R(A)=2.所以 R(A)=2.A-->r2-3r1,r3-r1 1 1 1 1 1 0 2 -4a-1 0 2 b-1r3-r2 1 1 1 1 1 0 2 -4a-2 0 0 b+3所以 a=2,b=-3.

由题意,. A = 1 2 3 1 ?9 ?1 1 1 0 ?8 0 3 2 7 ?13 1 2 3 1 ?9 0 3 4 1 ?17 0 0 1 ?3 ?2 1 0 0 4 3 3 0 1 0 13 3 ?3 0 0 1 ?3 ?2 ∴取x4为自由变量,则 x1=3?4 3 x4 x2=?3?13 3 x4 x3=?2+3x4 令x4=C(C为任意常数)于是通解为: x1 x2 x3 x4 =C ?4 3 ?13 3 3 1 + 3 ?3 ?2 0

首先是系数矩阵的秩1 1 2 -3 1 2 -1 2 2 3 1 -1 矩阵初等变换得到1 1 2 -30 1 -3 50 0 0 0秩为2增广矩阵1 1 2 -3 11 2 -1 2 32 3 1 -1 B初等变换1 1 2 -3 10 1 -3 5 20 0 0 0 B-2使方程组无解 增广矩阵秩和系数矩阵秩不同 当B=2时秩相同 B不=2时秩不同通解=特解+基础解系当B=2时 方程组解 {2,0,1,1}+k1{-5,3,1,0}+k2{8,-5,0,1} k1,k2为任意常数 x3和x4为自变量

增广矩阵 = 1 -5 2 -3 11 5 3 6 -1 -1 2 4 2 1 -6 r2-5r1, r3-2r1 1 -5 2 -3 11 0 28 -4 14 -56 0 14 -2 7 -28 r

系数矩阵A=1 1 2 31 2 3 -12 -1 -1 -22 3 -1 -1r2-r1,r3-2r1,r4-2r11 1 2 30 1 1 -40 -3 -5 -80 1 -5 -7r3+3r2,r4-r21 1 2 30 1 1 -40 0 -2 -200 0 -6 -3r4-3r31 1 2 30 1 1 -40 0 -2 -200 0 0 57所以方程组只有零解.

x1+x2+2X3+3X4=1X1+3X2+6X3+X4=3X1-5X2-10X3+9X4=a增广矩阵=1 1 2 3 11 3 6 1 31 -5 -10 9 ar2-r1,r3-r11 1 2 3 10 2 4 -2 20 -6 -12 6 a-1r3+3r2,r2*(1/2),r1-r21 0 0 4 00 1 2 -1 10 0 0 0 a+5所以 a=-5 时方程组

x+x+x=3 ①x-x+x=1 ②x+x-2x=0 ③①+②: 2x+2x=4 ④②+③:2x-x=1 ⑤由④-⑤:x=1代入⑤:x=1,得x=1,x=1.

增广矩阵 =1 1 2 -1 12 3 1 -2 43 4 3 -3 5r3-r1-r2,r2-2r11 1 2 -1 10 1 -3 0 20 0 0 0 0r1-r21 0 5 -1 -10 1 -3 0 20 0 0 0 0 方程组的全部解为:(-1,2,0,0)^T+c1(-5,3,1,0)^T+c2(1,0,0,1)^Tc1,c2为任意常数

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